假定$f_n\to f$一致于$S$,并假定每个$f_n$在$S$上都是有界的.证明$\{f_n\}$在$S$上是一致有界的.

 

证明：$f_n\to f$一致于$S$,说明对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在正整数$N$,使得$\forall n\geq N$,都有对于一切$x\in S$,满足

$$|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$$

由于$f_1,\cdots f_{N-1}$这有限个函数在$S$上都有界，因此$\forall 1\leq i\leq N-1$,都有$\forall x\in S$,$|f_i(x)|\leq M_i$.$M_1,\cdots,M_{N-1}$中必有最大值$\max\{M_1,\cdots,M_{N-1}\}$.

由于$f_n\to f$一致于$S$,且每个$f_n$在$S$上都有界，易得$f$在$S$上有界.综上所述，$\{f_n\}$在$S$上一致有界.